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定
量
研 证券研究报告
究
| 分析师： |
| 徐寅 |
| xuyinsh@xyzq.com.cn |
| S0190514070004 |
西学东渐–海外文献推荐系列之八十七
专题报
| 报告关键点 |
| 作为资产配置中风险敞口的度量，波动率是投资者非常关注的指标，本文对下行波动率与波动率的关系进行了探索，并研究其在资产配置中的意义。尽管下行波动率和波动率的整体相关性较高，但在历史最不稳定的时期这两个指标的相关性明显下降。本文研究了下行波动率管理的多空因子组合以及行业投资组合的表现，发现下行波动率相较于波动率管理的因子和投资组合有显著的正 alpha；本文还研究了均值方差模型中下行波动率管理的投资组合的优点：加入下行波动率管理的投资组合可以提高切线组合的夏普比率，并将有效边界扩展到更理想的区域。在此基础上，作者使用类似的方法检验了上行波动率的意义，发现上行波动率在相同背景下对投资并无裨益。 |
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投资要点
告
2020 年 7 月 30 日
团队成员：
不仅推动了中国在科学技术和思想文化方面的发展，也有力地促进了社会与政治的大 变革。在今天，西学东渐仍有其重要的现实意义。作为A 股市场上以量化投资为研究方向的卖方金融工程团队，在平日的工作中，常常深感海外相关领域的研究水平之高、内容之新。而这也促使我们通过大量的材料阅读，去粗取精，将认为最有价值的海外 文献呈现在您的面前！
|
| 风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成， 在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。 |
目录
1、引言 .- 3 –
2、下行波动率…………………………………………………………………………………………….- 5 –
2.1、方差分解………………………………………………………………………………………….- 5 –
2.2、数据…………………………………………………………………………………………………- 6 –
2.3、下行波动率 VS 波动率……………………………………………………………………..- 6 –
3、利用下行波动率管理投资组合………………………………………………………………..- 9 –
4、拓展后验有效边界………………………………………………………………………………..- 13 –
5、上行波动率 VS 下行波动率…………………………………………………………………..- 16 –
6、结论……………………………………………………………………………………………………..- 18 –
参考文献……………………………………………………………………………………………………- 20 –
图表 1、波动率和下行波动率的相关性和尾部相关性……………………………………- 7 –
图表 2、尾部区间中波动率与下行波动率的散点图……………………………………….- 8 –
图表 3、下行波动率与波动率的面板回归……………………………………………………..- 8 –
图表 4、下行波动率管理的投资组合对原始因子的单变量回归……………………- 10 – 图表 5、下行波动率管理的投资组合对波动率管理投资组合的单变量回归….- 11 – 图表 6、下行波动率管理的行业投资组合与原始行业投资组合的比较…………- 12 – 图表 7、下行波动率管理的行业投资组合与波动率管理的行业投资组合（Moreira 和 Muir ,2017）的比较……………………………………………………………………………….- 13 –
图表 8、后验切线组合的夏普比率……………………………………………………………..- 14 –
图表 9、因子组合后验均值-方差边界的延拓………………………………………………- 15 –
图表 10、49 个行业组合后验均值-方差边界的延拓…………………………………….- 16 –
图表 11 、上行波动率管理的投资组合对波动率管理投资组合（ Moreira 和
Muir ,2017）的单变量回归…………………………………………………………………………- 17 –
图表 12、上行波动率管理的行业投资组合与波动率管理的行业投资组合（Moreira
和 Muir ,2017）的比较……………………………………………………………………………….- 18 –
报告正文
利用下行波动率管理投资组合
文献来源：
Qiao X , Yan S , Deng B . Downside Volatility-Managed Portfolios[J]. The Journal of Portfolio Management, 2018.
推荐原因：
作为资产配置中风险敞口的度量，波动率是投资者非常关注的指标，本文对下行波动率与波动率的关系进行了探索，并研究其在资产配置中的意义。尽管下行波动率和波动率的整体相关性较高，但在历史最不稳定的时期这两个指标的相关性明显下降。本文研究了下行波动率管理的多空因子组合以及行业投资组合的表现， 发现下行波动率相较于波动率管理的因子和投资组合有显著的正alpha；本文还研究了均值方差模型中下行波动率管理的投资组合的优点：加入下行波动率管理的投资组合可以提高切线组合的夏普比率，并将有效边界扩展到更理想的区域。在此基础上，作者使用类似的方法检验了上行波动率的意义，发现上行波动率在相同背景下对投资并无裨益。
我们的思考：
相对于众所周知的波动率，下行波动率所受到的关注相对较少。由于下行波动率和波动率在市场波动较大的时候并不呈现完全同步的变化，所以同时观察波动率和下行波动率的走势可以为风险管理人员提供更多的信息，从而帮助投资者做出更明智的投资决策。本文建议投资者纳入下行波动率管理的投资组合来扩大其机会集合，为风险管理和投资组合管理提供了更加广阔的视角。
1、引言
波动的概念在金融中至关重要，自 Markowitz（1952）发表了现代投资组合理论中这一开创性工作以后，学者和从业人员都将波动作为风险衡量的关键指标。学者们记载了有关波动率的经验事实，并提出了观察波动率的模型；从业人员跟踪投资策略的波动率，并利用市场波动来衡量投资者的情绪。总而言之，波动率一直是无数学术研究和行业报告的讨论主题。
在计算波动率时，无条件均值的正偏差和负偏差被同等对待，即当波动率很高时，投资者经历较大上升趋势与较大下降趋势的可能性相同；但是投资者可能并不认为上升和下降趋势具有相同的风险：市场快速上涨 10%可能值得庆祝， 但若急剧下降 10%就会给投资者带来巨大的痛苦。
波动率需要计算全部收益率的标准差，与之不同的是，在计算下行波动率时使用的收益率需低于某一阈值。下行波动率是一种风险度量指标，相对于广为流传的波动率所受到的关注也相对较少。由于下行波动率和波动率并不总是呈现同步的变化，观察波动率和下行波动率的走势可以帮助投资者区分整体风险和下行风险，因此跟踪两者可以为风险管理人员提供更多的信息，从而帮助投资者做出
更明智的投资决策。
我们将下行波动率定义为符合条件的收益率与平均收益率的偏差，而不是与下行观测指标条件均值的偏差。我们的构造提供了一种简单的分解方法：总方差是下行方差和上行方差的加权平均值，权重分别与下行和上行观察的次数成正比。
股票收益率分布趋于对称，因此下行波动率和波动率通常高度相关。对于 8
个多空因子和 49 个纯多头行业构成的组合，下行波动率与波动率之间的相关性约为 90%。实际上，在大萧条或大金融危机之类的经济衰退期间，下行波动率和波动率的数值都是非常高的。
在极端情形下，波动率和下行波动率可能会产生较大的差别。当两者都升高时，它们的相关性就会大大降低。在历史上波动最大的 12 个月内，下行波动率与波动率之间的尾部相关性介于-50%至 95%之间，大多数值介于 20%至 60%之间。混合回归结果显示，在最不稳定的月份中，波动率变化 1%只会导致下行波动率增加 0.4%-0.5%。极端波动时期中下行波动率和波动率有显著的区别，此时恰恰是对两者的跟踪最有价值的时候。
波动率通常用作投资组合管理的输入项。Moreira 和 Muir（2017）的研究表明，与原始投资组合相比，由波动率管理的投资组合能产生较大的 alpha 值并具有更高的夏普比率，他们通过条件波动率的倒数改进了诸如价值、动量之类的著名因子，并证明这些组合扩大了投资机会。
我们研究了下行波动率管理的投资组合表现，发现它们扩大了投资者的机会集合，下行波动率管理的因子组合和行业组合比其原始定义下的组合表现更优。基于下行波动率定义的因子和行业投资组合与原始组合的回归结果显示下行波动率管理的组合有更大的 alpha 值；下行波动率管理的投资组合可以引入新的多样化收益序列，而原始投资组合并不能涵盖这部分收益。
我们将下行波动率管理的资产组合与 Moreira 和 Muir（2017）提出的波动率管理的投资组合进行比较，发现本文投资组合的收益增强大于 Moreira 和 Muir
（2017）所提出的方法。对下行波动率管理的投资组合与波动率管理的投资组合进行回归，8 个因子中有 6 个因子有较大的 alpha 且具有统计显著性；49 个行业投资组合中有39 个组合的alpha 为正，且有23 个行业组合每年的alpha 超过了1%。,股票开户最便宜
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本文还在均值-方差模型的框架中对下行波动率管理的投资组合与 Moreira 和Muir（2017）提出的波动率管理的投资组合进行了比较。尽管将波动率管理的投资组合与原始组合相结合可以提高后验切线组合的夏普比率，但若加入下行波动率管理的投资组合能进一步提高夏普比率。原始 8 因子切线组合的夏普比率为1.41；原始 8 因子与结合波动率管理组成新的后验组合的夏普比率为 1.84；当我们在此基础上加入下行波动率管理的投资组合时，夏普比率提高到 2.04。使用 49 个行业组合所构成切线组合的夏普比率为 1.28；添加波动率管理的投资组合后夏普比率提高到 2.28，进一步将下行波动率管理的投资组合添加到组合中可以将夏普比率提高到 3.22。且在以上测试中，夏普比率的改善具有统计显著性，经 Ledoit 和 Wolf（2008）检验 p 值均接近 0。在实际投资中，尽管投资者可能无法完全实现如此高的夏普比率，但通过比较后验有效边界的范围，本文证明了投资者可以通过纳入下行波动率管理的投资组合来扩大其机会集。
下行波动率管理的投资组合可以扩大投资机会，但上行波动率管理的投资组合不能，因为上行波动率管理的投资组合不包含波动率管理的投资组合以外的补充信息。由上行波动率管理的 8 个因子中有 6 个相对于波动率管理的因子有负的
alpha 值，上行波动率管理的 49 个行业组合中有 43 个相对于波动率管理的行业组合有负的alpha 值。
Markowitz（1959）提出半标准差的概念来衡量下行风险， 我们发现使用Markowitz（1959）定义的下行波动率管理的投资组合也能扩大投资机会集合为投资者增加价值，因为波动率管理的投资组合不能完全覆盖和解释在半标准差定义下的下行波动率管理的投资组合。
Markowitz（1959）对上行风险和下行风险进行了区分，其推荐使用半方差来代替方差，因为它是一种实际可行的风险度量。Hogan 和 Warren（1974），Bawa和 Lindenberg（1977）以及Harlow 和 Rao（1989）等学者将该思想延拓到均衡资产定价的框架中。与这些研究相比，我们的工作更多侧重于投资组合管理与下行波动率的关系，而不是全面的资产定价框架。
Moreira 和 Muir（2017）与我们的研究最为接近，他们证明了与原始因子相比，波动率管理的因子可以改善投资者的机会集。Moreira 和 Muir（2017）与我们的方法之间的主要区别是组合风险敞口的定义方式，Moreira 和 Muir（2017） 使用了波动率，而我们认为由于投资者对上行风险和下行风险的偏好不对称，下行波动对投资组合管理有一定的用处。使用下行波动率管理的投资组合不同于使用波动率管理的投资组合，它有更具吸引力的风险收益特性，因为下行波动率和波动率并不总是高度相关，所以下行波动率相对于波动率管理的投资组合能够增加价值。
文章的结构安排如下：
第一部分：介绍下行波动率的概念，并将其与波动率进行比较；
第二部分中：我们分别使用单变量（8 个多空因子和 49 个行业组合）对原始投资组合和由波动率管理的投资组合进行比较；
第三部分展示了由下行波动率管理的投资组合如何扩展后验有效边界；
第四部分研究了上行波动率的特征，并证明了上行波动率不能有效扩大投资机会集合；
最后一部分是全文的总结。
2、下行波动率
、方差分解
收益率序列的方差可以通过以下公式计算：
ˆ 2
1 N 2
(xi x)
N
i1
（1）
其中 N 表示观察样本数量，xi 表示单个样本的观察值，x 表示全体观察样本的无
条件均值，在进行误差修正时有时会用 N-1 来代替 N，但是当样本量足够大时两者计算的区别不大。
下行方差通常使用小于某个目标水平的收益率来计算，我们将平均回报率作为目标水平。下行和上行方差的定义如下：
ˆ 2
N 2
(x x) 1
1
；ˆ 2
N 2
(x x) 1
1
N
（2）
d i
N
d i1
xi x
u i
u i1
xi x
其中Nd 是xi x 的样本数量， Nu 是xi x 的样本数量， N=Nd +Nu ，1x x 和
1x x 都为示性函数。
i
i
方程 1 可以表示为下式：
ˆ 2 Nd ˆ 2 + Nu ˆ 2
N d N u
因此，总体方差是下行方差和上行方差的加权总和。波动率、下行波动率和上行波动率是通过方差开平方根得到的结果。
、数据
为了进行分析，我们使用 Ken French 网站上的 Fama French（1992，2015） 因子的日收益率和月收益率以及按照特征分类的投资组合。我们获得了 Fama French（1992）因子每日和每月的收益率，以及 1926 年 7 月至 2018 年 1 月的短
期和长期反转因子，以及 1963 年 7 月至 2018 年 1 月的 Fama French（2015）因子。我们还使用了 French 网站中 49 个行业投资组合每日以及每月的收益率。
、下行波动率 VS 波动率
我们沿用 Moreira 和 Muir（2017）的方法，使用日度收益计算每月的波动率以及下行波动率。从 1926 年 7 月至 2018 年 1 月，我们使用公式 1 和公式 2 计算
月度的波动率，便于进行比较，我们还用公式 2 计算了上行波动率的数值。本文计算了多个因子的波动率，包括市场超额收益因子（RMRF），规模因子（SMB），价值因子（HML），动量因子（MOM），盈利能力因子（RMW），投资因子（CMA），短期反转因子（STRev）和长期反转因子（LTRev），除此之外还计算了 49 个行业投资组合的波动率。
图表 1 的上半部分展示了波动率与下行波动率之间的相关性，下半部分展示
了两者的尾部相关性。对于单个收益率序列，我们使用波动率最高的 12 个月来计算尾部相关性，尾部相关性展示了在最不稳定的时期内波动率和下行波动率的变化是否具有一致性。在以上 8 个多空因子和 49 个行业投资组合中，我们发现波动率和下行波动率的变化具有同步性，两个指标之间的无条件相关性为 93%。平均而言，波动率较高时下行波动率的数值往往也较高。
在最动荡的月份中，波动率和下行波动率的变化不一定具有同步性。对于市场超额收益因子，波动率和下行波动率之间的无条件相关性为 94%，但是在最不
稳定的 12 个月中，它们的条件相关性仅为 55%。整体而言波动率和下行波动率的变化趋于同步，但在最动荡的区间中它们可能会有所不同，全部因子和行业组合的平均尾部相关性仅为 58%。
由于数据有限，尾部相关性难以估计。在本文中我们使用 12 个月的数据来计算尾部相关性，但同时也增加了样本量作为代价，为了解决这个问题，我们决定合并所有收益序列的尾部指标以了解尾部波动率和下行波动率之间的平均关系。对于每个收益序列，我们从波动最高的 12 个月中来收集波动率度量指标，然后我
们将包含了 8 个因子和 49 个行业组合的所有度量指标进行结合。
| 图表 1、波动率和下行波动率的相关性和尾部相关性 |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
图表 2 展示了在最不稳定月份中所有投资组合的下行波动率与波动率的散点图。合并样本后的最佳拟合直线的回归系数为 0.48，R2 为 57%，如果波动率和下行波动率相关性极高，回归系数将接近 1.0，最佳拟合线将接近 45 度的斜线。然而数据显示，如果最不稳定月份的波动率提高 1%，则同一个月测得的下行波动率可能仅提高 0.48%，图上的大多点都位于 45 度斜线的下方。
| 图表 2、尾部区间中波动率与下行波动率的散点图 | |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
为了更直观地理解图表 2 中的波动率和下行波动率之间的关系，我们在波动性最大的月份中对波动率的下行波动率进行了混合回归（pooled regression）。
i pi Fixed _ effects i
(3)
i
其中
d,t
d,t t d,t
和i 分别代表资产组合 i 在时间 t 的下行波动率和波动率，p 代表下
t
行波动率对波动率的敏感程度，若 p=1 表示在最动荡月份中波动率和下行波动率的变化趋于同步。我们使用固定的影响因子来描述时间或投资组合的差异为下行波动率带来的潜在差异，而不是由于波动率而引起的差异。我们按时间对标准误差进行聚类，以允许每个时间点的投资组合之间具有任意相关性。
图表 3 展示了回归的结果。第 1 列展示了下行波动率与波动率之间时间序列与横截面的混合回归，回归系数为 0.48，标准误为 0.05，在 5%或 1%的常规置信度下，我们可以拒绝 p = 1 的原假设。即使考虑了投资组合的固定影响效应（第 2
列），时间的固定影响效应（第 3 列）或两者（第 4 列）时，p 的估计值变化不大。在每一种测试中，p 的估计值都在 0.4 到 0.5 之间，并且都拒绝了 p = 1 的原假设。
| 图表 3、下行波动率与波动率的面板回归 |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
以上的证据表明，波动率和下行波动率不是对风险的同一度量方式。人们诟病下行波动率的收益分布趋于对称，所以不能提供其他信息；但是我们的研究结果表明，波动率并不完全包含下行波动率中的信息，同时跟踪两者可以更好地了解策略的风险状况。
3、利用下行波动率管理投资组合
波动率和下行波动率是投资者衡量投资组合风险的观察指标，这些变量对投资组合管理有用吗？为了回答这个问题，我们根据条件下行波动率去探索不断变化的投资组合敞口，本文按以下方式构建基于下行波动率管理的投资组合。
d
f
t1
2
ˆ
d,t
ft1
（4）
其中 f d 表示 t+1 月基于下行波动率管理的投资组合，初始投资组合为 f
t1
t1
，t 月
的下行方差为ˆ 2
d,t
，常数 是为了保证 f d
与 ft1
具有相同的标准差。我们在本文
中构建的组合与 Moreira 和Muir（2017）构建的组合类似：
t1
MM
t1
c
ˆ 2
f
t
ft1
（5）
其中c 的作用是使得 f MM 和 f
t 1
t1
具有相同的标准差，基于波动率管理的组合 f MM
与基于下行波动率管理的 f d
t 1
t1
的区别在于控制组合的敞口时用的是条件波动率还
是下行波动率。
我们研究下行波动率管理的投资组合是否能改进投资者的机会集合。我们对下行波动率管理的因子收益率与原始因子进行时间序列回归。
f d f
- d
（6）
t1 t1 t1
在这个回归模型中， =0 表示基于下行波动率计算的因子空间是由原始因子空间张成的，也就是说，利用下行波动率来管理因子敞口并不能改善投资者的风险收益特性； >0 表示下行波动率管理的因子不能由原始因子空间张成，并且可
和 f
d
以为投资者增加价值：相对于 100%投资于 f
t1
，投资者可以通过构建 f
t1
t1 的
某种组合进行投资来获得较高风险调整后的回报。
表示下行波动率管理的因子与原始因子之间的变动关系。 =1 表示原始因子变动一个单位，下行波动率管理的因子也变动一个单位，而小于 1 的正 表示下行波动率管理因子与原始因子朝同一方向移动，但变动幅度较小。
图表 4 展示了回归结果：8 个因子中有 6 个具有正的截距，但 CMA 和 STRev 因子除外，它们的负截距的数值都很小且统计检验数值也较小，有 4 个因子的正截距无论是经济意义还是统计检验都非常显著，每年的 介于 3.6%和 8.3%之间。所有因子的回归系数 均小于 1，表明下行波动率管理的因子与原始因子的变动并不完全趋于同步。此外所有回归的 R2 都很小，这些结果表明，下行波动率管
理的因子与原始因子并没有非常强的相关性，它们提供了多样化的回报。
Moreira 和 Muir（2017）指出，波动率管理的因子不能完全被原始因子所解释，他们考虑了一些与我们相同的因子，包括 RMRF，SMB，HML，MOM，RMW 和 CMA。也许会有人质疑我们在图表 4 中的结果是否为 Moreira 和 Muir（2017） 结果的产物，以及下行波动率与波动率的高度相关性。
| 图表 4、下行波动率管理的投资组合对原始因子的单变量回归 |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
为了理解我们的发现与 Moreira 和 Muir（2017）研究之间的区别，我们对波动率管理的投资组合和下行波动率管理的投资组合进行时间序列的回归：
f d a bf MM d
（7）
t1 t1 t1
其中 f MM 表示 Moreira 和 Muir（2017）所定义的波动率管理的投资组合，与公式6 的解释类似，正的 表示波动率管理的投资组合不能完全覆盖和解释下行波动率所管理的投资组合。
t 1
图表 5 展示了公式 7 的测试结果：8 个因子中有 4 个有很大的截距，截距的范围从每年 1.9%到 2.7%，有 6 个因子的截距项为正，2 个因子具有负的截距（CMA和 STRev）但是数值也较小；回归系数 b 全都小于 1。图表 5 中各个因子的 R2 整体高于图表 4 中因子的 R2，因为波动率和下行波动率具有一定的正相关性，因此基于它们的投资组合也呈正相关性。
| 图表 5、下行波动率管理的投资组合对波动率管理投资组合的单变量回归 | |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
我们仍旧使用公式 6 和 7 中因子扩充检验方法(spanning test)来研究由下行波动率管理的行业组合。对于这两种回归，我们都在自变量和因变量中减去了一个月的国库券收益率，因此自变量不能解释风险溢价，但是回归截距可以解释风险溢价。我们在图表 6 中展示了公式 6 的截距及其 t 统计量。
与因子投资组合相同，由下行波动率管理的行业投资组合并不能被原始行业投资组合完全解释。49 个投资组合中有 48 个具有正截距，只有 1 个具有较小的负截距。36 个行业投资组合每年的截距超过 3%，在调整了敞口之后的行业组合比与原始投资组合的表现更加出色，而且在 49 行业中有 29 个的 t 值具有统计显著性。
| 图表 6、下行波动率管理的行业投资组合与原始行业投资组合的比较 | |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
图表 7 展示了下行波动率管理的行业投资组合与波动率管理的行业投资组合的测试结果。19 个基于下行波动率管理的投资组合的年均截距不低于 2%，相较于波动率管理的投资组合具有显著的改善效果。49 个组合中有 10 个组合具有负截距，表明波动率管理的投资组合能完全解释这些行业的下行波动率所管理的投资组合。对所有的组合进行截距的显著性检验，有 7 个组合的正截距在统计上是显著的，而所有负截距在统计上均不显著。从整体来看，尽管在各个行业之间存在着差异，但基于下行波动率管理的行业投资组合相较于波动率管理的投资组合扩大了投资机会。
| 图表 7、下行波动率管理的行业投资组合与波动率管理的行业投资组合（Moreira
和 Muir ,2017）的比较 |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
本节中的结果是基于上文“方差分解”部分中下行波动率定义的基础所得到的。我们研究了使用下行波动率的另一种定义时的结果变化，该定义为收益率为负的条件下收益率与均值的偏差（Markowitz 1959），本节的结果也同样成立。在下行波动率管理的投资组合与波动率管理的投资组合的回归中，8 个因子中的 4 个因子具有较大的正截距，行业投资组合中有 14 个组合每年的截距均大于 2%， 且没有较大的负截距。
4、拓展后验有效边界
根据上一节的结果，与原始投资组合或基于波动率管理的投资组合相比，基于下行波动率管理的投资组合可以扩大投资者的机会集合，以上的比较都是在收益系列之间的单变量中进行的。在实践中投资者可能投资于多个因子或多个行业组合，因此了解投资机会集合的整体变化非常重要。本节我们将研究下行波动率管理的组合可以在多大程度上拓展投资组合的后验有效边界。
给定一个超额收益为
且协方差矩阵为
，夏普比率为
w‘ w‘ w
的组合，其中w
是总和为 1 的权重向量。后验的切线投资组合（即样本内夏普比率最高的投资组合）很好地把握了市场的投资机会，它的权重由以下表达式给出：
Tang
1
w =11 （8）
其中 1 表示由 1 组成的向量。使用投资组合的后验权重，很容易证明组合后验的夏普比率如下（Campbell，Lo 和 MacKinlay 1997）。
’ 1
SRTang =
（9）
我们使用该表达式评估均值方差模型中后验有效边界的拓展。对于每个因子或行业组合，我们使用完整样本来估计Σ和 ，并对以下三种不同方式构建的后
验投资组合的夏普比率进行比较：（1）原始投资组合，（2）原始投资组合和波动率管理的投资组合，（3）原始投资组合、波动率管理的投资组合以及下行波动率管理的投资组合，图表 8 展示了我们的研究结果。
| 图表 8、后验切线组合的夏普比率 |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
考虑 Fama French（1992）因子 RMRF、SMB 和 HML，使用这三个因子形成的后验切线投资组合[1]的夏普比率为 0.52；这些因子再加上波动率管理的相应变量，构成了夏普比率为 0.71 的切线组合[2]；在此基础上在若纳入下行波动管理的相应因子，切线组合[3]的夏普比率上升至 0.87；我们使用 Ledoit 和 Wolf（2008） 的模型检验夏普比率是否相等，该方法考虑了异方差性和厚尾分布。我们拒绝了不包含下行波动率管理的投资组合[2]与下行波动率管理的投资组合[3]具有相同夏普比率相等的原假设，这表明下行波动率管理的投资组合显著提高了切线组合的夏普比率。我们同样拒绝了排除或包含波动率管理的投资组合具有相同的夏普比率的原假设（[1]和[2]）。
下行波动率管理的投资组合扩大了由原始组合以及波动率管理的投资组合形成的投资机会集合，夏普比率的改善在统计上是显著的。这种结论适用于不同的因子组合，例如 Carhart（1997）四因子，反转因子，Fama French（2015）五因子以及上文中全部的 8 个因子。
公式 8 中的投资组合权重没有大于 0 的限制，这就自然引出了与因子空头头 寸相关的成本问题。由于波动率管理的因子和下行波动率管理的因子均由原始因 子衍生而来，因此它们具有相同的底层股票，只是头寸可能不同。结合了原始因 子，波动率管理的因子和下行波动率管理的因子的投资组合应该比原始因子更难 交易，因为标的股票的头寸可以进行净额结算。在进行股票的净头寸结算之后， 某些在原始因子投资组合中持多头头寸的股票可能会变为空头头寸，反之亦然。 我们推荐拥有足够资源来进行原始多空因子交易的投资者可以构建新的投资组合， 同时也不会过多增加滑点。
图表 8 中夏普比率的提高不一定来自于因子组合中的空头头寸，空头头寸的规模通常不小于-20%，但波动率管理的 FF3 因子中的 SMB 和 HML 的切线组合除外（-31%和-37%）。为了了解空头的仓位对夏普比率的影响，我们将公式 8 中的负仓位调整为 0，并对剩余权重进行标准化使得最终权重为 1。与不包含这些因子的投资组合相比，包含下行波动率管理因子的投资组合仍然大幅提高了夏普比
率。我们还解决了投资组合优化问题，即在非负权重的约束下如何最大化组合的夏普比率，结果类似于将公式 8 中的负权重简单转换为零。实际上，下行波动率管理的投资组合可以提供强大的分散化能力，使原始因子、基于波动率管理和下行波动率管理的等权投资组合比仅使用原始因子和波动率管理因子的等权投资组合具有更高的夏普比率。
图表8 中夏普比率的提高不是由于增加尾部风险驱动的。Goetzmann 等（2007） 认为投资经理可以通过调整投资组合的尾部风险特征来优化夏普比率，从而操控业绩表现。我们调查了使用波动率管理和下行波动率管理的因子组成的切线组合， 发现与使用原始因子的切线组合相比，它们的尾部风险似乎并不高。我们使用切线组合的最低日收益率，1%的在险价值（VaR）和最大跌幅等指标来衡量组合的尾部风险，经测试图表 8 中由下行波动率管理的投资组合[3] 的尾部风险要低于原始投资组合[1]。因此，我们的结果不是增加尾部风险带来的。
我们在图表 9 中比较了不同因子组合的后验有效边界。我们解决了 Markowitz
（1952）的投资组合问题：对于不同水平的预期收益，如何最小化投资组合的标准差。有效边界由大量独立的数据点组合而成，实线描绘了 8 因子投资组合的均值-方差有效边界，虚线描绘了加入波动率管理的因子后所形成的有效边界，点划线描绘了在此基础上添加 8 个下行波动率管理的因子后所构建的有效边界。
在预期收益与标准差的关系图中，每个点具有特定的风险-收益特征。对于资产 A，其左上方区域有较高的预期收益率和较低的波动率，基于风险和收益的考虑，位于其左上方区域的资产 B 相较于资产 A 将更具吸引力，如果投资者获得了B 区域的投资机会，投资集合将得到改善。将波动率管理的因子添加到八个原始因子中可以改善投资者的机会集：虚线的有效边界位于实线的左上方；添加下行波动率管理的因子进一步扩大了投资机会，点划线的边界位于虚线边界和实线边界的左上方区域。
| 图表 9、因子组合后验均值-方差边界的延拓 | ||
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
图表 10 展示了不同行业组合的后验均值-方差有效边界，实线所示的边界基
于原始的 49 个行业投资组合，虚线描绘了加入波动率管理的行业组合后所形成的有效边界，点划线描绘了在此基础上添加下行波动率管理的组合后所构建的有效边界。与我们的因子组合的结果相似，与 49 个原始投资组合相比，尽管基于波动率管理的投资组合扩大了投资机会，但加入由下行波动率管理的行业组合进一步扩展了波动较低且收益较高的区域。
| 图表 10、49 个行业组合后验均值-方差边界的延拓 |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
与 Moreira 和 Muir（2017）的原始投资组合和波动率管理的投资组合相比， 下行波动率管理的投资组合扩大了投资者的机会，加入下行波动率管理的投资组合能够提高切线组合的夏普比率。我们在本节中的发现证实了我们先前的结果， 即基于下行波动率管理的组合不能被原始投资组合或波动率管理的投资组合所覆盖和解释。无论在单变量还是多变量环境中，下行波动率管理的投资组合都通过扩大投资机会集合的方式为投资者提供了实际价值。
5、上行波动率 VS 下行波动率
对我们研究的一种潜在质疑在于结果可能是机械而没有逻辑的， 我们只是简单地发现了一种与波动率不完全相关的指标，自然而然的，使用该指标管理投资组合与波动率管理的投资组合不会完全相关，因此加入不完全相关的组合能提高原有组合的收益风险比。
为了解答以上的疑虑，我们利用同样与波动率不完全相关的上行波动率来管理投资组合风险。如果简单地纳入不完全相关的组合可以扩大投资机会，则上行波动率管理的资产组合效果应与下行波动率类似。
基于上行波动率管理的投资组合的构建方式与下行波动率的构建方式相同：
u
f
t1
2
ˆ
u,t
ft1
（10）
其中ˆ u
等。
是我们估计的上行波动率，常数 应该使得 f u
与 ft1
的无条件波动率相
我们仍旧使用回归的方法来对比上行波动率管理的投资组合与波动率管理的投资组合：
t1
f u a bf MM d
（11）
t1 t1 t1
图表 11 展示了公式 11 的检验结果，8 组因子回归中有 6 组的截距为负，且大部分数据较大且具统计显著性，没有因子具有显著的正截距。这些结果与图表5 中关于下行波动率的测试结果截然不同，图表 5 中大多数截距为正数且显著。图
表 11 的结果表明上行波动率管理的因子可以被波动率管理的因子所覆盖和解释， 投资者最好投资于波动率管理的因子，而不需要投资上行波动率管理的因子。
| 图表 11、上行波动率管理的投资组合对波动率管理投资组合（Moreira 和
Muir ,2017）的单变量回归 |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
图表 12 展示了基于行业回归的截距及其 t 统计量，49 个行业检验的截距中只 有 6 个为正数，12 个截距项在 5%显著性水平下为负。与因子组合一样，由波动率管理的行业投资组合也可以完全涵盖和解释由上行波动率管理的行业投资组合。
| 图表 12、上行波动率管理的行业投资组合与波动率管理的行业投资组合（Moreira
和 Muir ,2017）的比较 |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
我们验证了下行波动率可以显著改善投资组合的收益风险比，且这不仅仅是简单且机械的结果。尽管上行波动率、下行波动率两者与波动率的相关性几乎相同，但由上行波动率管理的风险组合并不能改善投资者的投资机会集合，波动率管理的投资组合包含上行波动率管理的投资组合中的所有可用信息。
6、结论
在本文中，我们发现下行波动率作为重要的风险度量方式，可以为投资者提供波动率无法捕捉的额外价值。尽管下行波动率和波动率整体来看平均相关性很高，但在历史最不稳定的时期这两种指标的表现有所不同：下行波动率和波动率之间的无条件相关性约为 90%，而在最不稳定的 12 个月中，他们的相关性约为55%，混合回归的结果表明，在尾部区域若波动率增加 1%，下行波动率仅增加
0.4%-0.5%。高波动代表市场不确定性增加，这恰好是观察下行波动率和波动率最有利的时间。
我们研究了波动率管理的多空因子组合以及行业投资组合的表现，当下行波动率较高时我们降低风险敞口；当下行波动率较低时，我们提高风险敞口。而且下行波动率管理的投资组合不会被原始投资组合或 Moreira 和 Muir（2017）提出的波动率管理的投资组合所覆盖或解释。我们还研究了均值方差模型中下行波动率管理的投资组合的优点：加入下行波动率管理的投资组合会提高切线组合的夏普比率，并将有效边界扩展到更理想的区域。事实证明，下行波动率在投资组合
管理中很有用，而上行波动率在相同背景下对投资者并无裨益。
在本文中我们只关注了美国股票市场的情况，一个有趣的研究方向是将我们的分析扩展到其他的国家市场中，在国际市场中下行波动率和波动率有何区别？ 下行波动率对投资组合管理有用吗？另一个有意思的研究方向是对其他类别的资产进行研究，包括债券，货币和商品等。如果本文的结论适用于不同的国家和资产类别中，那么下行波动率可能具有共同的系统性成分，了解其共同成分可以帮助我们构建更稳健的投资策略和更卓越的风险管理系统。
参考文献
[1] Bawa, V. S., and E. B. Lindenberg. 1977. “Capital Market Equilibrium in a Mean-Lower Partial Moment Framework.” Journal of Financial Economics 5 (2): 189–200.
[2 ]Campbell, J. Y., A. W. Lo, and A. C. MacKinlay. The Econometrics of Financial Markets, vol. 2. Princeton, NJ: Princeton,University Press, 1997.
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- Fama, E. F., and K. R. French. 1992. “The Cross-Section of Expected Stock Returns.” Journal of Finance 47 (2): 427–465.
- ——. 2015. “A Five-Factor Asset Pricing Model.” Journal of Financial Economics 116 (1): 1–22
- Goetzmann, W., J. Ingersoll, M. Spiegel, and I. Welch. 2007. “Portfolio Performance Manipulation and ManipulationProof Performance Measures.” Review of Financial Studies 20 (5): 1503–1546.
- Harlow, W. V., and R. K. Rao. 1989. “Asset Pricing in a Generalized Mean-Lower Partial Moment Framework: Theory and Evidence.” Journal of Financial and Quantitative Analysis 24 (3): 285–311.
- Hogan, W. W., and J. M. Warren. 1974. “Toward the Development of an Equilibrium Capital-Market Model Based on Semivariance.” Journal of Financial and Quantitative Analysis 9 (1): 1–11.
- Ledoit, O., and M. Wolf. 2008. “Robust Performance Hypothesis Testing with the Sharpe Ratio.” Journal of Empirical Finance 15 (5): 850–859.
- Markowitz, H. 1952. “Portfolio Selection.” Journal of Finance 7 (1): 77–91.
- ——. Portfolio Selection, Efficient Diversification of Investments. Hoboken: Wiley, 1959.
- Moreira, A., and T. Muir. 2017. “Volatility-Managed Portfolios.” Journal of Finance 72 (4): 1611–1644.
风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成，在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。
分析师声明
本人具有中国证券业协会授予的证券投资咨询执业资格并注册为证券分析师，以勤勉的职业态度，独立、客观地出具本
报告。本报告清晰准确地反映了本人的研究观点。本人不曾因，不因，也将不会因本报告中的具体推荐意见或观点而直接或间接收到任何形式的补偿。
投资评级说明
| 投资建议的评级标准 | 类别 | 评级 | 说明 |
| 报告中投资建议所涉及的评级分为股票评级和行业评级（另有说明的除外）。评级标准为报告发布日后的12个月内公司股价（或行业指数）相对同期相关证券市场代表性指数的涨跌幅。其中： A股市场以上证综指或深圳成指为基 准，香港市场以恒生指数为基准；美国市场以标普500或纳斯达克综合指数为基准。 | 股票评级 | 买入 | 相对同期相关证券市场代表性指数涨幅大于15% |
| 审慎增持 | 相对同期相关证券市场代表性指数涨幅在5%～15%之间 | ||
| 中性 | 相对同期相关证券市场代表性指数涨幅在-5%～5%之间 | ||
| 减持 | 相对同期相关证券市场代表性指数涨幅小于-5% | ||
| 无评级 | 由于我们无法获取必要的资料，或者公司面临无法预见结果的重大不确 定性事件，或者其他原因，致使我们无法给出明确的投资评级 | ||
| 行业评级 | 推荐 | 相对表现优于同期相关证券市场代表性指数 | |
| 中性 | 相对表现与同期相关证券市场代表性指数持平 | ||
| 回避 | 相对表现弱于同期相关证券市场代表性指数 |
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西学东渐–海外文献推荐系列之八十七
专题报
| 报告关键点 |
| 作为资产配置中风险敞口的度量，波动率是投资者非常关注的指标，本文对下行波动率与波动率的关系进行了探索，并研究其在资产配置中的意义。尽管下行波动率和波动率的整体相关性较高，但在历史最不稳定的时期这两个指标的相关性明显下降。本文研究了下行波动率管理的多空因子组合以及行业投资组合的表现，发现下行波动率相较于波动率管理的因子和投资组合有显著的正 alpha；本文还研究了均值方差模型中下行波动率管理的投资组合的优点：加入下行波动率管理的投资组合可以提高切线组合的夏普比率，并将有效边界扩展到更理想的区域。在此基础上，作者使用类似的方法检验了上行波动率的意义，发现上行波动率在相同背景下对投资并无裨益。 |
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列之八十六》 |
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投资要点
告
2020 年 7 月 30 日
团队成员：
不仅推动了中国在科学技术和思想文化方面的发展，也有力地促进了社会与政治的大 变革。在今天，西学东渐仍有其重要的现实意义。作为A 股市场上以量化投资为研究方向的卖方金融工程团队，在平日的工作中，常常深感海外相关领域的研究水平之高、内容之新。而这也促使我们通过大量的材料阅读，去粗取精，将认为最有价值的海外 文献呈现在您的面前！
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| 风险提示：文献中的结果均由相应作者通过历史数据统计、建模和测算完成， 在政策、市场环境发生变化时模型存在失效的风险。 |
目录
1、引言 .- 3 –
2、下行波动率…………………………………………………………………………………………….- 5 –
2.1、方差分解………………………………………………………………………………………….- 5 –
2.2、数据…………………………………………………………………………………………………- 6 –
2.3、下行波动率 VS 波动率……………………………………………………………………..- 6 –
3、利用下行波动率管理投资组合………………………………………………………………..- 9 –
4、拓展后验有效边界………………………………………………………………………………..- 13 –
5、上行波动率 VS 下行波动率…………………………………………………………………..- 16 –
6、结论……………………………………………………………………………………………………..- 18 –
参考文献……………………………………………………………………………………………………- 20 –
图表 1、波动率和下行波动率的相关性和尾部相关性……………………………………- 7 –
图表 2、尾部区间中波动率与下行波动率的散点图……………………………………….- 8 –
图表 3、下行波动率与波动率的面板回归……………………………………………………..- 8 –
图表 4、下行波动率管理的投资组合对原始因子的单变量回归……………………- 10 – 图表 5、下行波动率管理的投资组合对波动率管理投资组合的单变量回归….- 11 – 图表 6、下行波动率管理的行业投资组合与原始行业投资组合的比较…………- 12 – 图表 7、下行波动率管理的行业投资组合与波动率管理的行业投资组合（Moreira 和 Muir ,2017）的比较……………………………………………………………………………….- 13 –
图表 8、后验切线组合的夏普比率……………………………………………………………..- 14 –
图表 9、因子组合后验均值-方差边界的延拓………………………………………………- 15 –
图表 10、49 个行业组合后验均值-方差边界的延拓…………………………………….- 16 –
图表 11 、上行波动率管理的投资组合对波动率管理投资组合（ Moreira 和
Muir ,2017）的单变量回归…………………………………………………………………………- 17 –
图表 12、上行波动率管理的行业投资组合与波动率管理的行业投资组合（Moreira
和 Muir ,2017）的比较……………………………………………………………………………….- 18 –
报告正文
利用下行波动率管理投资组合
文献来源：
Qiao X , Yan S , Deng B . Downside Volatility-Managed Portfolios[J]. The Journal of Portfolio Management, 2018.
推荐原因：
作为资产配置中风险敞口的度量，波动率是投资者非常关注的指标，本文对下行波动率与波动率的关系进行了探索，并研究其在资产配置中的意义。尽管下行波动率和波动率的整体相关性较高，但在历史最不稳定的时期这两个指标的相关性明显下降。本文研究了下行波动率管理的多空因子组合以及行业投资组合的表现， 发现下行波动率相较于波动率管理的因子和投资组合有显著的正alpha；本文还研究了均值方差模型中下行波动率管理的投资组合的优点：加入下行波动率管理的投资组合可以提高切线组合的夏普比率，并将有效边界扩展到更理想的区域。在此基础上，作者使用类似的方法检验了上行波动率的意义，发现上行波动率在相同背景下对投资并无裨益。
我们的思考：
相对于众所周知的波动率，下行波动率所受到的关注相对较少。由于下行波动率和波动率在市场波动较大的时候并不呈现完全同步的变化，所以同时观察波动率和下行波动率的走势可以为风险管理人员提供更多的信息，从而帮助投资者做出更明智的投资决策。本文建议投资者纳入下行波动率管理的投资组合来扩大其机会集合，为风险管理和投资组合管理提供了更加广阔的视角。
1、引言
波动的概念在金融中至关重要，自 Markowitz（1952）发表了现代投资组合理论中这一开创性工作以后，学者和从业人员都将波动作为风险衡量的关键指标。学者们记载了有关波动率的经验事实，并提出了观察波动率的模型；从业人员跟踪投资策略的波动率，并利用市场波动来衡量投资者的情绪。总而言之，波动率一直是无数学术研究和行业报告的讨论主题。
在计算波动率时，无条件均值的正偏差和负偏差被同等对待，即当波动率很高时，投资者经历较大上升趋势与较大下降趋势的可能性相同；但是投资者可能并不认为上升和下降趋势具有相同的风险：市场快速上涨 10%可能值得庆祝， 但若急剧下降 10%就会给投资者带来巨大的痛苦。
波动率需要计算全部收益率的标准差，与之不同的是，在计算下行波动率时使用的收益率需低于某一阈值。下行波动率是一种风险度量指标，相对于广为流传的波动率所受到的关注也相对较少。由于下行波动率和波动率并不总是呈现同步的变化，观察波动率和下行波动率的走势可以帮助投资者区分整体风险和下行风险，因此跟踪两者可以为风险管理人员提供更多的信息，从而帮助投资者做出
更明智的投资决策。
我们将下行波动率定义为符合条件的收益率与平均收益率的偏差，而不是与下行观测指标条件均值的偏差。我们的构造提供了一种简单的分解方法：总方差是下行方差和上行方差的加权平均值，权重分别与下行和上行观察的次数成正比。
股票收益率分布趋于对称，因此下行波动率和波动率通常高度相关。对于 8
个多空因子和 49 个纯多头行业构成的组合，下行波动率与波动率之间的相关性约为 90%。实际上，在大萧条或大金融危机之类的经济衰退期间，下行波动率和波动率的数值都是非常高的。
在极端情形下，波动率和下行波动率可能会产生较大的差别。当两者都升高时，它们的相关性就会大大降低。在历史上波动最大的 12 个月内，下行波动率与波动率之间的尾部相关性介于-50%至 95%之间，大多数值介于 20%至 60%之间。混合回归结果显示，在最不稳定的月份中，波动率变化 1%只会导致下行波动率增加 0.4%-0.5%。极端波动时期中下行波动率和波动率有显著的区别，此时恰恰是对两者的跟踪最有价值的时候。
波动率通常用作投资组合管理的输入项。Moreira 和 Muir（2017）的研究表明，与原始投资组合相比，由波动率管理的投资组合能产生较大的 alpha 值并具有更高的夏普比率，他们通过条件波动率的倒数改进了诸如价值、动量之类的著名因子，并证明这些组合扩大了投资机会。
我们研究了下行波动率管理的投资组合表现，发现它们扩大了投资者的机会集合，下行波动率管理的因子组合和行业组合比其原始定义下的组合表现更优。基于下行波动率定义的因子和行业投资组合与原始组合的回归结果显示下行波动率管理的组合有更大的 alpha 值；下行波动率管理的投资组合可以引入新的多样化收益序列，而原始投资组合并不能涵盖这部分收益。
我们将下行波动率管理的资产组合与 Moreira 和 Muir（2017）提出的波动率管理的投资组合进行比较，发现本文投资组合的收益增强大于 Moreira 和 Muir
（2017）所提出的方法。对下行波动率管理的投资组合与波动率管理的投资组合进行回归，8 个因子中有 6 个因子有较大的 alpha 且具有统计显著性；49 个行业投资组合中有39 个组合的alpha 为正，且有23 个行业组合每年的alpha 超过了1%。
本文还在均值-方差模型的框架中对下行波动率管理的投资组合与 Moreira 和Muir（2017）提出的波动率管理的投资组合进行了比较。尽管将波动率管理的投资组合与原始组合相结合可以提高后验切线组合的夏普比率，但若加入下行波动率管理的投资组合能进一步提高夏普比率。原始 8 因子切线组合的夏普比率为1.41；原始 8 因子与结合波动率管理组成新的后验组合的夏普比率为 1.84；当我们在此基础上加入下行波动率管理的投资组合时，夏普比率提高到 2.04。使用 49 个行业组合所构成切线组合的夏普比率为 1.28；添加波动率管理的投资组合后夏普比率提高到 2.28，进一步将下行波动率管理的投资组合添加到组合中可以将夏普比率提高到 3.22。且在以上测试中，夏普比率的改善具有统计显著性，经 Ledoit 和 Wolf（2008）检验 p 值均接近 0。在实际投资中，尽管投资者可能无法完全实现如此高的夏普比率，但通过比较后验有效边界的范围，本文证明了投资者可以通过纳入下行波动率管理的投资组合来扩大其机会集。
下行波动率管理的投资组合可以扩大投资机会，但上行波动率管理的投资组合不能，因为上行波动率管理的投资组合不包含波动率管理的投资组合以外的补充信息。由上行波动率管理的 8 个因子中有 6 个相对于波动率管理的因子有负的
alpha 值，上行波动率管理的 49 个行业组合中有 43 个相对于波动率管理的行业组合有负的alpha 值。
Markowitz（1959）提出半标准差的概念来衡量下行风险， 我们发现使用Markowitz（1959）定义的下行波动率管理的投资组合也能扩大投资机会集合为投资者增加价值，因为波动率管理的投资组合不能完全覆盖和解释在半标准差定义下的下行波动率管理的投资组合。
Markowitz（1959）对上行风险和下行风险进行了区分，其推荐使用半方差来代替方差，因为它是一种实际可行的风险度量。Hogan 和 Warren（1974），Bawa和 Lindenberg（1977）以及Harlow 和 Rao（1989）等学者将该思想延拓到均衡资产定价的框架中。与这些研究相比，我们的工作更多侧重于投资组合管理与下行波动率的关系，而不是全面的资产定价框架。
Moreira 和 Muir（2017）与我们的研究最为接近，他们证明了与原始因子相比，波动率管理的因子可以改善投资者的机会集。Moreira 和 Muir（2017）与我们的方法之间的主要区别是组合风险敞口的定义方式，Moreira 和 Muir（2017） 使用了波动率，而我们认为由于投资者对上行风险和下行风险的偏好不对称，下行波动对投资组合管理有一定的用处。使用下行波动率管理的投资组合不同于使用波动率管理的投资组合，它有更具吸引力的风险收益特性，因为下行波动率和波动率并不总是高度相关，所以下行波动率相对于波动率管理的投资组合能够增加价值。
文章的结构安排如下：
第一部分：介绍下行波动率的概念，并将其与波动率进行比较；
第二部分中：我们分别使用单变量（8 个多空因子和 49 个行业组合）对原始投资组合和由波动率管理的投资组合进行比较；
第三部分展示了由下行波动率管理的投资组合如何扩展后验有效边界；
第四部分研究了上行波动率的特征，并证明了上行波动率不能有效扩大投资机会集合；
最后一部分是全文的总结。
2、下行波动率
、方差分解
收益率序列的方差可以通过以下公式计算：
ˆ 2
1 N 2
(xi x)
N
i1
（1）
其中 N 表示观察样本数量，xi 表示单个样本的观察值，x 表示全体观察样本的无
条件均值，在进行误差修正时有时会用 N-1 来代替 N，但是当样本量足够大时两者计算的区别不大。
下行方差通常使用小于某个目标水平的收益率来计算，我们将平均回报率作为目标水平。下行和上行方差的定义如下：
ˆ 2
N 2
(x x) 1
1
；ˆ 2
N 2
(x x) 1
1
N
（2）
d i
N
d i1
xi x
u i
u i1
xi x
其中Nd 是xi x 的样本数量， Nu 是xi x 的样本数量， N=Nd +Nu ，1x x 和
1x x 都为示性函数。
i
i
方程 1 可以表示为下式：
ˆ 2 Nd ˆ 2 + Nu ˆ 2
N d N u
因此，总体方差是下行方差和上行方差的加权总和。波动率、下行波动率和上行波动率是通过方差开平方根得到的结果。
、数据
为了进行分析，我们使用 Ken French 网站上的 Fama French（1992，2015） 因子的日收益率和月收益率以及按照特征分类的投资组合。我们获得了 Fama French（1992）因子每日和每月的收益率，以及 1926 年 7 月至 2018 年 1 月的短
期和长期反转因子，以及 1963 年 7 月至 2018 年 1 月的 Fama French（2015）因子。我们还使用了 French 网站中 49 个行业投资组合每日以及每月的收益率。
、下行波动率 VS 波动率
我们沿用 Moreira 和 Muir（2017）的方法，使用日度收益计算每月的波动率以及下行波动率。从 1926 年 7 月至 2018 年 1 月，我们使用公式 1 和公式 2 计算
月度的波动率，便于进行比较，我们还用公式 2 计算了上行波动率的数值。本文计算了多个因子的波动率，包括市场超额收益因子（RMRF），规模因子（SMB），价值因子（HML），动量因子（MOM），盈利能力因子（RMW），投资因子（CMA），短期反转因子（STRev）和长期反转因子（LTRev），除此之外还计算了 49 个行业投资组合的波动率。
图表 1 的上半部分展示了波动率与下行波动率之间的相关性，下半部分展示
了两者的尾部相关性。对于单个收益率序列，我们使用波动率最高的 12 个月来计算尾部相关性，尾部相关性展示了在最不稳定的时期内波动率和下行波动率的变化是否具有一致性。在以上 8 个多空因子和 49 个行业投资组合中，我们发现波动率和下行波动率的变化具有同步性，两个指标之间的无条件相关性为 93%。平均而言，波动率较高时下行波动率的数值往往也较高。
在最动荡的月份中，波动率和下行波动率的变化不一定具有同步性。对于市场超额收益因子，波动率和下行波动率之间的无条件相关性为 94%，但是在最不
稳定的 12 个月中，它们的条件相关性仅为 55%。整体而言波动率和下行波动率的变化趋于同步，但在最动荡的区间中它们可能会有所不同，全部因子和行业组合的平均尾部相关性仅为 58%。
由于数据有限，尾部相关性难以估计。在本文中我们使用 12 个月的数据来计算尾部相关性，但同时也增加了样本量作为代价，为了解决这个问题，我们决定合并所有收益序列的尾部指标以了解尾部波动率和下行波动率之间的平均关系。对于每个收益序列，我们从波动最高的 12 个月中来收集波动率度量指标，然后我
们将包含了 8 个因子和 49 个行业组合的所有度量指标进行结合。
| 图表 1、波动率和下行波动率的相关性和尾部相关性 |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
图表 2 展示了在最不稳定月份中所有投资组合的下行波动率与波动率的散点图。合并样本后的最佳拟合直线的回归系数为 0.48，R2 为 57%，如果波动率和下行波动率相关性极高，回归系数将接近 1.0，最佳拟合线将接近 45 度的斜线。然而数据显示，如果最不稳定月份的波动率提高 1%，则同一个月测得的下行波动率可能仅提高 0.48%，图上的大多点都位于 45 度斜线的下方。
| 图表 2、尾部区间中波动率与下行波动率的散点图 | |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
为了更直观地理解图表 2 中的波动率和下行波动率之间的关系，我们在波动性最大的月份中对波动率的下行波动率进行了混合回归（pooled regression）。
i pi Fixed _ effects i
(3)
i
其中
d,t
d,t t d,t
和i 分别代表资产组合 i 在时间 t 的下行波动率和波动率，p 代表下
t
行波动率对波动率的敏感程度，若 p=1 表示在最动荡月份中波动率和下行波动率的变化趋于同步。我们使用固定的影响因子来描述时间或投资组合的差异为下行波动率带来的潜在差异，而不是由于波动率而引起的差异。我们按时间对标准误差进行聚类，以允许每个时间点的投资组合之间具有任意相关性。
图表 3 展示了回归的结果。第 1 列展示了下行波动率与波动率之间时间序列与横截面的混合回归，回归系数为 0.48，标准误为 0.05，在 5%或 1%的常规置信度下，我们可以拒绝 p = 1 的原假设。即使考虑了投资组合的固定影响效应（第 2
列），时间的固定影响效应（第 3 列）或两者（第 4 列）时，p 的估计值变化不大。在每一种测试中，p 的估计值都在 0.4 到 0.5 之间，并且都拒绝了 p = 1 的原假设。
| 图表 3、下行波动率与波动率的面板回归 |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
以上的证据表明，波动率和下行波动率不是对风险的同一度量方式。人们诟病下行波动率的收益分布趋于对称，所以不能提供其他信息；但是我们的研究结果表明，波动率并不完全包含下行波动率中的信息，同时跟踪两者可以更好地了解策略的风险状况。
3、利用下行波动率管理投资组合
波动率和下行波动率是投资者衡量投资组合风险的观察指标，这些变量对投资组合管理有用吗？为了回答这个问题，我们根据条件下行波动率去探索不断变化的投资组合敞口，本文按以下方式构建基于下行波动率管理的投资组合。
d
f
t1
2
ˆ
d,t
ft1
（4）
其中 f d 表示 t+1 月基于下行波动率管理的投资组合，初始投资组合为 f
t1
t1
，t 月
的下行方差为ˆ 2
d,t
，常数 是为了保证 f d
与 ft1
具有相同的标准差。我们在本文
中构建的组合与 Moreira 和Muir（2017）构建的组合类似：
t1
MM
t1
c
ˆ 2
f
t
ft1
（5）
其中c 的作用是使得 f MM 和 f
t 1
t1
具有相同的标准差，基于波动率管理的组合 f MM
与基于下行波动率管理的 f d
t 1
t1
的区别在于控制组合的敞口时用的是条件波动率还
是下行波动率。
我们研究下行波动率管理的投资组合是否能改进投资者的机会集合。我们对下行波动率管理的因子收益率与原始因子进行时间序列回归。
f d f
- d
（6）
t1 t1 t1
在这个回归模型中， =0 表示基于下行波动率计算的因子空间是由原始因子空间张成的，也就是说，利用下行波动率来管理因子敞口并不能改善投资者的风险收益特性； >0 表示下行波动率管理的因子不能由原始因子空间张成，并且可
和 f
d
以为投资者增加价值：相对于 100%投资于 f
t1
，投资者可以通过构建 f
t1
t1 的
某种组合进行投资来获得较高风险调整后的回报。
表示下行波动率管理的因子与原始因子之间的变动关系。 =1 表示原始因子变动一个单位，下行波动率管理的因子也变动一个单位，而小于 1 的正 表示下行波动率管理因子与原始因子朝同一方向移动，但变动幅度较小。
图表 4 展示了回归结果：8 个因子中有 6 个具有正的截距，但 CMA 和 STRev 因子除外，它们的负截距的数值都很小且统计检验数值也较小，有 4 个因子的正截距无论是经济意义还是统计检验都非常显著，每年的 介于 3.6%和 8.3%之间。所有因子的回归系数 均小于 1，表明下行波动率管理的因子与原始因子的变动并不完全趋于同步。此外所有回归的 R2 都很小，这些结果表明，下行波动率管
理的因子与原始因子并没有非常强的相关性，它们提供了多样化的回报。
Moreira 和 Muir（2017）指出，波动率管理的因子不能完全被原始因子所解释，他们考虑了一些与我们相同的因子，包括 RMRF，SMB，HML，MOM，RMW 和 CMA。也许会有人质疑我们在图表 4 中的结果是否为 Moreira 和 Muir（2017） 结果的产物，以及下行波动率与波动率的高度相关性。
| 图表 4、下行波动率管理的投资组合对原始因子的单变量回归 |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
为了理解我们的发现与 Moreira 和 Muir（2017）研究之间的区别，我们对波动率管理的投资组合和下行波动率管理的投资组合进行时间序列的回归：
f d a bf MM d
（7）
t1 t1 t1
其中 f MM 表示 Moreira 和 Muir（2017）所定义的波动率管理的投资组合，与公式6 的解释类似，正的 表示波动率管理的投资组合不能完全覆盖和解释下行波动率所管理的投资组合。
t 1
图表 5 展示了公式 7 的测试结果：8 个因子中有 4 个有很大的截距，截距的范围从每年 1.9%到 2.7%，有 6 个因子的截距项为正，2 个因子具有负的截距（CMA和 STRev）但是数值也较小；回归系数 b 全都小于 1。图表 5 中各个因子的 R2 整体高于图表 4 中因子的 R2，因为波动率和下行波动率具有一定的正相关性，因此基于它们的投资组合也呈正相关性。
| 图表 5、下行波动率管理的投资组合对波动率管理投资组合的单变量回归 | |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
我们仍旧使用公式 6 和 7 中因子扩充检验方法(spanning test)来研究由下行波动率管理的行业组合。对于这两种回归，我们都在自变量和因变量中减去了一个月的国库券收益率，因此自变量不能解释风险溢价，但是回归截距可以解释风险溢价。我们在图表 6 中展示了公式 6 的截距及其 t 统计量。
与因子投资组合相同，由下行波动率管理的行业投资组合并不能被原始行业投资组合完全解释。49 个投资组合中有 48 个具有正截距，只有 1 个具有较小的负截距。36 个行业投资组合每年的截距超过 3%，在调整了敞口之后的行业组合比与原始投资组合的表现更加出色，而且在 49 行业中有 29 个的 t 值具有统计显著性。
| 图表 6、下行波动率管理的行业投资组合与原始行业投资组合的比较 | |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
图表 7 展示了下行波动率管理的行业投资组合与波动率管理的行业投资组合的测试结果。19 个基于下行波动率管理的投资组合的年均截距不低于 2%，相较于波动率管理的投资组合具有显著的改善效果。49 个组合中有 10 个组合具有负截距，表明波动率管理的投资组合能完全解释这些行业的下行波动率所管理的投资组合。对所有的组合进行截距的显著性检验，有 7 个组合的正截距在统计上是显著的，而所有负截距在统计上均不显著。从整体来看，尽管在各个行业之间存在着差异，但基于下行波动率管理的行业投资组合相较于波动率管理的投资组合扩大了投资机会。
| 图表 7、下行波动率管理的行业投资组合与波动率管理的行业投资组合（Moreira
和 Muir ,2017）的比较 |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
本节中的结果是基于上文“方差分解”部分中下行波动率定义的基础所得到的。我们研究了使用下行波动率的另一种定义时的结果变化，该定义为收益率为负的条件下收益率与均值的偏差（Markowitz 1959），本节的结果也同样成立。在下行波动率管理的投资组合与波动率管理的投资组合的回归中，8 个因子中的 4 个因子具有较大的正截距，行业投资组合中有 14 个组合每年的截距均大于 2%， 且没有较大的负截距。
4、拓展后验有效边界
根据上一节的结果，与原始投资组合或基于波动率管理的投资组合相比，基于下行波动率管理的投资组合可以扩大投资者的机会集合，以上的比较都是在收益系列之间的单变量中进行的。在实践中投资者可能投资于多个因子或多个行业组合，因此了解投资机会集合的整体变化非常重要。本节我们将研究下行波动率管理的组合可以在多大程度上拓展投资组合的后验有效边界。
给定一个超额收益为
且协方差矩阵为
，夏普比率为
w‘ w‘ w
的组合，其中w
是总和为 1 的权重向量。后验的切线投资组合（即样本内夏普比率最高的投资组合）很好地把握了市场的投资机会，它的权重由以下表达式给出：
Tang
1
w =11 （8）
其中 1 表示由 1 组成的向量。使用投资组合的后验权重，很容易证明组合后验的夏普比率如下（Campbell，Lo 和 MacKinlay 1997）。
’ 1
SRTang =
（9）
我们使用该表达式评估均值方差模型中后验有效边界的拓展。对于每个因子或行业组合，我们使用完整样本来估计Σ和 ，并对以下三种不同方式构建的后
验投资组合的夏普比率进行比较：（1）原始投资组合，（2）原始投资组合和波动率管理的投资组合，（3）原始投资组合、波动率管理的投资组合以及下行波动率管理的投资组合，图表 8 展示了我们的研究结果。
| 图表 8、后验切线组合的夏普比率 |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
考虑 Fama French（1992）因子 RMRF、SMB 和 HML，使用这三个因子形成的后验切线投资组合[1]的夏普比率为 0.52；这些因子再加上波动率管理的相应变量，构成了夏普比率为 0.71 的切线组合[2]；在此基础上在若纳入下行波动管理的相应因子，切线组合[3]的夏普比率上升至 0.87；我们使用 Ledoit 和 Wolf（2008） 的模型检验夏普比率是否相等，该方法考虑了异方差性和厚尾分布。我们拒绝了不包含下行波动率管理的投资组合[2]与下行波动率管理的投资组合[3]具有相同夏普比率相等的原假设，这表明下行波动率管理的投资组合显著提高了切线组合的夏普比率。我们同样拒绝了排除或包含波动率管理的投资组合具有相同的夏普比率的原假设（[1]和[2]）。
下行波动率管理的投资组合扩大了由原始组合以及波动率管理的投资组合形成的投资机会集合，夏普比率的改善在统计上是显著的。这种结论适用于不同的因子组合，例如 Carhart（1997）四因子，反转因子，Fama French（2015）五因子以及上文中全部的 8 个因子。
公式 8 中的投资组合权重没有大于 0 的限制，这就自然引出了与因子空头头 寸相关的成本问题。由于波动率管理的因子和下行波动率管理的因子均由原始因 子衍生而来，因此它们具有相同的底层股票，只是头寸可能不同。结合了原始因 子，波动率管理的因子和下行波动率管理的因子的投资组合应该比原始因子更难 交易，因为标的股票的头寸可以进行净额结算。在进行股票的净头寸结算之后， 某些在原始因子投资组合中持多头头寸的股票可能会变为空头头寸，反之亦然。 我们推荐拥有足够资源来进行原始多空因子交易的投资者可以构建新的投资组合， 同时也不会过多增加滑点。
图表 8 中夏普比率的提高不一定来自于因子组合中的空头头寸，空头头寸的规模通常不小于-20%，但波动率管理的 FF3 因子中的 SMB 和 HML 的切线组合除外（-31%和-37%）。为了了解空头的仓位对夏普比率的影响，我们将公式 8 中的负仓位调整为 0，并对剩余权重进行标准化使得最终权重为 1。与不包含这些因子的投资组合相比，包含下行波动率管理因子的投资组合仍然大幅提高了夏普比
率。我们还解决了投资组合优化问题，即在非负权重的约束下如何最大化组合的夏普比率，结果类似于将公式 8 中的负权重简单转换为零。实际上，下行波动率管理的投资组合可以提供强大的分散化能力，使原始因子、基于波动率管理和下行波动率管理的等权投资组合比仅使用原始因子和波动率管理因子的等权投资组合具有更高的夏普比率。
图表8 中夏普比率的提高不是由于增加尾部风险驱动的。Goetzmann 等（2007） 认为投资经理可以通过调整投资组合的尾部风险特征来优化夏普比率，从而操控业绩表现。我们调查了使用波动率管理和下行波动率管理的因子组成的切线组合， 发现与使用原始因子的切线组合相比，它们的尾部风险似乎并不高。我们使用切线组合的最低日收益率，1%的在险价值（VaR）和最大跌幅等指标来衡量组合的尾部风险，经测试图表 8 中由下行波动率管理的投资组合[3] 的尾部风险要低于原始投资组合[1]。因此，我们的结果不是增加尾部风险带来的。
我们在图表 9 中比较了不同因子组合的后验有效边界。我们解决了 Markowitz
（1952）的投资组合问题：对于不同水平的预期收益，如何最小化投资组合的标准差。有效边界由大量独立的数据点组合而成，实线描绘了 8 因子投资组合的均值-方差有效边界，虚线描绘了加入波动率管理的因子后所形成的有效边界，点划线描绘了在此基础上添加 8 个下行波动率管理的因子后所构建的有效边界。
在预期收益与标准差的关系图中，每个点具有特定的风险-收益特征。对于资产 A，其左上方区域有较高的预期收益率和较低的波动率，基于风险和收益的考虑，位于其左上方区域的资产 B 相较于资产 A 将更具吸引力，如果投资者获得了B 区域的投资机会，投资集合将得到改善。将波动率管理的因子添加到八个原始因子中可以改善投资者的机会集：虚线的有效边界位于实线的左上方；添加下行波动率管理的因子进一步扩大了投资机会，点划线的边界位于虚线边界和实线边界的左上方区域。
| 图表 9、因子组合后验均值-方差边界的延拓 | ||
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
图表 10 展示了不同行业组合的后验均值-方差有效边界，实线所示的边界基
于原始的 49 个行业投资组合，虚线描绘了加入波动率管理的行业组合后所形成的有效边界，点划线描绘了在此基础上添加下行波动率管理的组合后所构建的有效边界。与我们的因子组合的结果相似，与 49 个原始投资组合相比，尽管基于波动率管理的投资组合扩大了投资机会，但加入由下行波动率管理的行业组合进一步扩展了波动较低且收益较高的区域。
| 图表 10、49 个行业组合后验均值-方差边界的延拓 |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
与 Moreira 和 Muir（2017）的原始投资组合和波动率管理的投资组合相比， 下行波动率管理的投资组合扩大了投资者的机会，加入下行波动率管理的投资组合能够提高切线组合的夏普比率。我们在本节中的发现证实了我们先前的结果， 即基于下行波动率管理的组合不能被原始投资组合或波动率管理的投资组合所覆盖和解释。无论在单变量还是多变量环境中，下行波动率管理的投资组合都通过扩大投资机会集合的方式为投资者提供了实际价值。
5、上行波动率 VS 下行波动率
对我们研究的一种潜在质疑在于结果可能是机械而没有逻辑的， 我们只是简单地发现了一种与波动率不完全相关的指标，自然而然的，使用该指标管理投资组合与波动率管理的投资组合不会完全相关，因此加入不完全相关的组合能提高原有组合的收益风险比。
为了解答以上的疑虑，我们利用同样与波动率不完全相关的上行波动率来管理投资组合风险。如果简单地纳入不完全相关的组合可以扩大投资机会，则上行波动率管理的资产组合效果应与下行波动率类似。
基于上行波动率管理的投资组合的构建方式与下行波动率的构建方式相同：
u
f
t1
2
ˆ
u,t
ft1
（10）
其中ˆ u
等。
是我们估计的上行波动率，常数 应该使得 f u
与 ft1
的无条件波动率相
我们仍旧使用回归的方法来对比上行波动率管理的投资组合与波动率管理的投资组合：
t1
f u a bf MM d
（11）
t1 t1 t1
图表 11 展示了公式 11 的检验结果，8 组因子回归中有 6 组的截距为负，且大部分数据较大且具统计显著性，没有因子具有显著的正截距。这些结果与图表5 中关于下行波动率的测试结果截然不同，图表 5 中大多数截距为正数且显著。图
表 11 的结果表明上行波动率管理的因子可以被波动率管理的因子所覆盖和解释， 投资者最好投资于波动率管理的因子，而不需要投资上行波动率管理的因子。
| 图表 11、上行波动率管理的投资组合对波动率管理投资组合（Moreira 和
Muir ,2017）的单变量回归 |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
图表 12 展示了基于行业回归的截距及其 t 统计量，49 个行业检验的截距中只 有 6 个为正数，12 个截距项在 5%显著性水平下为负。与因子组合一样，由波动率管理的行业投资组合也可以完全涵盖和解释由上行波动率管理的行业投资组合。
| 图表 12、上行波动率管理的行业投资组合与波动率管理的行业投资组合（Moreira
和 Muir ,2017）的比较 |
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| 资料来源：The Journal of Portfolio Management，兴业证券经济与金融研究院整理 |
我们验证了下行波动率可以显著改善投资组合的收益风险比，且这不仅仅是简单且机械的结果。尽管上行波动率、下行波动率两者与波动率的相关性几乎相同，但由上行波动率管理的风险组合并不能改善投资者的投资机会集合，波动率管理的投资组合包含上行波动率管理的投资组合中的所有可用信息。
6、结论
在本文中，我们发现下行波动率作为重要的风险度量方式，可以为投资者提供波动率无法捕捉的额外价值。尽管下行波动率和波动率整体来看平均相关性很高，但在历史最不稳定的时期这两种指标的表现有所不同：下行波动率和波动率之间的无条件相关性约为 90%，而在最不稳定的 12 个月中，他们的相关性约为55%，混合回归的结果表明，在尾部区域若波动率增加 1%，下行波动率仅增加
0.4%-0.5%。高波动代表市场不确定性增加，这恰好是观察下行波动率和波动率最有利的时间。
我们研究了波动率管理的多空因子组合以及行业投资组合的表现，当下行波动率较高时我们降低风险敞口；当下行波动率较低时，我们提高风险敞口。而且下行波动率管理的投资组合不会被原始投资组合或 Moreira 和 Muir（2017）提出的波动率管理的投资组合所覆盖或解释。我们还研究了均值方差模型中下行波动率管理的投资组合的优点：加入下行波动率管理的投资组合会提高切线组合的夏普比率，并将有效边界扩展到更理想的区域。事实证明，下行波动率在投资组合
管理中很有用，而上行波动率在相同背景下对投资者并无裨益。
在本文中我们只关注了美国股票市场的情况，一个有趣的研究方向是将我们的分析扩展到其他的国家市场中，在国际市场中下行波动率和波动率有何区别？ 下行波动率对投资组合管理有用吗？另一个有意思的研究方向是对其他类别的资产进行研究，包括债券，货币和商品等。如果本文的结论适用于不同的国家和资产类别中，那么下行波动率可能具有共同的系统性成分，了解其共同成分可以帮助我们构建更稳健的投资策略和更卓越的风险管理系统。
参考文献
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- Ledoit, O., and M. Wolf. 2008. “Robust Performance Hypothesis Testing with the Sharpe Ratio.” Journal of Empirical Finance 15 (5): 850–859.
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- ——. Portfolio Selection, Efficient Diversification of Investments. Hoboken: Wiley, 1959.
- Moreira, A., and T. Muir. 2017. “Volatility-Managed Portfolios.” Journal of Finance 72 (4): 1611–1644.
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